通过 真值表 直接构建 异或门
现在来探讨一下一种机械的方法论, 通过它能够设计出任何的组合逻辑电路.
不过在深入探讨这个问题之前, 需要对现有的基础门电路的特性有一个比较好的理解与掌握.
非门的特性
先来看非门的特性, 非门的存在, 使得我们一旦能得出某组结果, 也一定能得出相反的结果.
比如, 异或门的四种输出结果是 0 1 1 0. 反一下就有 1 0 0 1.
这里假设输入总是按 00, 01, 10, 11 的顺序.
所以, 如果 0 1 1 0 能够实现, 1 0 0 1 就一定也能实现. 不过, 在模式之外的呢? 比如 1 0 1 0, 它不是任何你知道的现有的门电路的反向. 这种情况你该怎么办?
注: 就 1 0 1 0 而言, 它其实可以是输入 B 的反向, 也即只需要对一个输出 B 取反, 输入 A 则完全丢弃即可. 你可以通过真值表验证这一点:
A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
这里需要首先谈下另外两种基本的门电路, 也就是 与门 和 或门 的一些特性.
与门的特性
与 也即是串联. 串联有一个特性, 多个开关, 如果想最终输出高电平, 则所有开关都需要闭合.
反过来, 如果看到一个串联电路输出了高电平, 可以反推出所有的开关都是闭合的.
也即是如果有表达式 A & B = 1, 那么 一定且只能 是 A = 1; B = 1.
所有 A 跟 B 的其它组合, 比如 A = 0; B = 0, 或是 A = 0; B = 1, 或是 A = 1; B = 0, 它们都不可能令 A & B = 1, 并且一定会导致 A & B = 0.
这是由串联电路的特性 有一个开关断开, 整个电路就是低电平 所决定的.
同理, 如果有表达式 !A & B = 1, 那么一定且只能是 A = 0; B = 1.
注: 这里
!A指对 A 取反, 见前面的相关介绍.另注: 取反操作具有最高的优先级, 就像一般的算术表达式里, 乘法的优先级高于加法那样. 上述表达式表示先对 A 取反, 再跟 B 取与.
所有其它的组合, 比如 A = 0; B = 0, 或是 A = 1; B = 0, 或是 A = 1; B = 1, 它们都不可能令 !A & B = 1, 而是一定会导致 !A & B = 0.
这个结论可以进一步扩展到三个或以上输入的情况. 也即是如果有表达式 A & B & C = 1, 那么 一定且只能 是 A = 1; B = 1; C = 1; 其它组合的结果均为 0.
以上就是 与门 的特性.
或门的特性
不同于 与门 的严苛特性, 或门的逻辑里, 有一个 1(高电平), 结果就是 1(高电平).
或 也即是并联.
如果有表达式 A | B = 1, 那么可以是 A = 1; B = 任何值, 或者是 B = 1; A = 任何值.
注: 这里竖线
|指对两个输入取或, 见前面的相关介绍.
这个结论对于复合的表达式也是成立的. 比如如果有表达式 (A & B) | (!A & B) = 1, 那么可以是其中一个子表达式 A & B = 1 或者是另一个子表达式 !A & B = 1.
注: 为避免歧义, 复合的表达式里使用了括号, 括住的两个子表达式先运算, 最后两个子表达式的结果再进行 或 运算. 也即最外层是或运算, 里层两个则是与运算.
异或门的表达式
有了前述基础, 通过求解异或门表达式这个具体实例来阐述这样的机械方法论. 先说步骤与结论, 再分析为什么是可行的.
第一步是列出异或门的真值表:
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
第二步是留下那些 Y 的值是 1 的行, 对于异或门的例子, 也就是中间两行:
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
第三步是在留下的行里, 写出每一行中, 使 A B 输出的值为 1 的 与组合 表达式.
比如, 第一行, A = 0, B = 1, 然后要 Y = 1, 则 与组合 表达式只能是
!A & B;同理, 第二行, A = 1, B = 0, 然后要 Y = 1, 则 与组合 表达式只能是
A & !B;
有多少行就写多少个.
另: 这里示例是两个输入 A 和 B 的情况, 如果有更多输入, 比如 A B C 三个, 那么就写三个输入的 与组合 表达式.
第四步, 将第三步得到的全部 子表达式 用 或组合 组合起来, 就是最终的结果.
对于异或门的实例, 即是 Y = (!A & B) | (A & !B).
整个顺序是:
- 各个输入, 看情况或是保持原样, 或是用 非门 取反;
- 再用 与门 对全部输入的组合 取与,
- 最后把多个取与的结果用 或门 取或.
根据这个表达式, 最终搭建的电路如下:
异或门第二种实现 在线可互动操作示例
为什么可行?
现在分析下为什么用上述方式得出的表达式可以满足需求.
其实最简单的方式还是列出真值表:
| A | B | Y | !A | (!A & B) = X | !B | (A & !B) = Z | X | Z |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
再逐个分析. 根据前面对与门特性的分析, 第一个子表达式 !A & B 是针对第一个结果为 1 的输入制定的, 在表里也就是第二行, 因此, 其它几行里, 它的结果都是 0.
同理, 第二个子表达式 A & !B 是针对第二个结果为 1 的输入制定的, 在表里也就是第三行, 因此, 其它几行里, 它的结果都是 0.
现在分析第一行的情况, 显然, 因为 Y = 0, 而前面只针对 Y = 1 的情况去筛选并书写输入的 求与 子表达式, 因为两个子表达式都不是针对它的输入情况去制定的, 因此两个子表达式的结果均为 0, 最后 0 | 0 的结果还是 0, 满足要求.
第二行的情况, 显然, 因为 Y = 1, 所以有一个子表达式是针对它的, 结果能得到 1, 也即是 !A & B = 1; 另一个子表达式 A & !B 在这里的结果依旧是 0; 但最后因为有一个 1, 1 | 0 的结果还是 1, 这是 或门 特性决定的, 结果满足要求.
第三行情况, 与第二行同理, 最后是 0 | 1 结果也还是 1, 满足要求.
第四行, 与第一行情况类似, 因为两个子表达式也都不是针对它的输入情况去制定的, 子表达式结果必然都是 0, 最后 0 | 0 的结果还是 0, 满足要求.
经测试, 所搭建的电路是满足真值表要求的:
异或门第二种实现, 四种情况 在线可互动操作示例
分析至此, 不难看出, 通过这样的先用非门对输入取反(或保持原样), 再用与门把输入的组合 取与, 最后把多个取与的结果用或门 取或 的方式, 在表达所需逻辑上是没有问题的.
可行性问题也因此迎刃而解.
此外, 这里举的示例虽然只是两个输出, 同时总的规则只有四条的情况, 但不难看出, 这个结论是完全可以进一步推广至更多的输入(三个, 四个或是更多均可), 以及更多的规则(五条, 六条甚至更多)的.
在前面, 曾经做过输出的 LED 数码管译码, 我们是用各种或是启发式, 或是采用分而治之等方式简化后才终于得以解决的. 现在, 掌握了上述机械的方法论, 解决起来就简单了.
为更好掌握此种方式, 在下一篇中将应用它重新实现译码电路.